Jeux intermédiaires Pierre-feuille-ciseaux

On définit une famille continue entre le jeu sur un graphe complet et le jeu sur un graphe-damier. On se fixe un paramètre p entre 0 et 1. À chaque coup on choisit un premier nœud N au hasard uniformément parmi tous les nœuds. Pour le second nœud N’, on choisit entre deux méthodes A et B, la méthode A choisie avec une probabilité p et la méthode B avec une probabilité 1 – p. Si la méthode A est choisie on prend pour N’ un nœud quelconque du graphe. Si la méthode B est retenue, on choisit N’ parmi les huit voisins de N. Les nœuds N et N’ ainsi déterminés livrent alors combat.

Pour p = 0, tout se passe comme quand on jouait au jeu sur un graphe-damier, pour p = 1, comme si on jouait sur un graphe complet. Pour p assez petit (jusqu’à 0,002) l’évolution du graphe se fait en préservant un bon mélange : les trois symboles restent présents en proportion équilibrée 1/3-1/3-1/3. Lorsque p se trouve entre 0,002 et 0,15 la proportion de chaque symbole fluctue dans le système, ce que l’on mesure par un paramètre de fluctuation F (F = 0, pas de fluctuation ; F = 1, variation maximale des effectifs). Au-delà de 0,15 le système devient violemment oscillant comme dans le cas d’un graphe complet : chacun des symboles domine à tour de rôle, le graphe passant par des états où un symbole occupe la quasi-totalité du graphe, toutes les cases du graphe sont synchronisées (ces simulations ont été menées par A. Szolnoki et G. Szabó).