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Jouer avec les mathématiques

Quelques ouvrages de référence, qui explorent - sur un mode ludique - les fondements mathématiques des sciences et technologies de l'information et de la communication.

Quand les maths prennent formes

Dossier Pour La Science no 91, avril-juin 2016

Couv-PLS91F comme Forme. Ce mot revient dans plusieurs expressions : être en forme, sans autre forme de procès, déformation, etc. En mathématiques aussi, le mot forme revêt plusieurs aspects, comme l’explique le mathématicien Cédric Villani, lauréat de la médaille Fields en 2010. C’est la forme au sens géométrique qui est explorée dans ce dossier de la revue Pour La Science, intitulé « Quand les maths prennent formes ».

On pourrait penser que les rectangles, les triangles ou les cercles n’ont plus de secret pour les mathématiciens. Voilà pourtant une question simple : comment découper un rectangle en trois parties identiques ? La réponse est facile, il n’y a qu’une solution en général et deux solutions si la longueur divisée par la largeur vaut 3/2, mais la démonstration mathématique l’est moins.

Quant aux triangles de Reuleaux construits avec un triangle équilatéral et trois cercles, ils s’invitent de façon inattendue dans l’industrie mécanique. Et l’heptagone de Reuleaux, à sept côtés, est la forme adoptée par la pièce de 20 cents britannique. 

Parfois une question anodine conduit à des résultats surprenants. Comment retourner une aiguille dans une botte de foin aplatie (en deux dimensions) et d’aire minimale ? C’est facile à faire dans un disque, un peu moins dans un triangle équilatéral. Mais la réponse est étonnante : l’aire peut être aussi petite que l’on veut, grâce aux ensembles de Besicovitch qui ont une aire nulle !
Que se passe-t-il maintenant si la botte de foin a une épaisseur (en trois dimensions) ? Cette question soulève des problèmes qui ont des connexions avec d’autres domaines des mathématiques où se sont illustrés plusieurs mathématiciens lauréats de la médaille Fields.

Tout cela peut sembler bien abstrait et peu utile, voire futile. Au moins reconnaît-on quelque beauté aux figures fractales, dessinées grâce à des algorithmes numériques, et autres formes géométriques bizarres qui inspirent souvent les artistes ou les designers.

Mais le design s’appuie aussi sur des méthodes mathématiques. Par exemple, quelle est la forme d’une pièce mécanique qui rend la pièce la plus rigide possible tout en respectant une limite maximale de poids ? Les mathématiques répondent à cette question grâce à des méthodes dites d’optimisation topologique, qui permettent de faire varier la forme pour augmenter progressivement la rigidité jusqu’à obtenir la solution souhaitée. Ces méthodes ont d’autres applications. Par exemple, la méthode des courbes de niveau a été utilisée dans le film Avatar pour le design de paysages réalistes.

Dans le domaine du vivant, les taches et rayures des pelages d’animaux s’expliquent aussi grâce aux mathématiques. La théorie de la morphogenèse introduite par Alan Turing montre comment des petites perturbations induisent une répartition de deux composants chimiques (de couleurs jaune et noir par exemple), en tâches ou rayures. Sans ces perturbations, le pelage serait uniformément un mélange des deux composants (jaune foncé par exemple).

Ces perturbations interviennent dans de nombreux phénomènes biologiques ou physiques. L’analyse des équations avec perturbations a fait d’énormes progrès récemment grâce aux travaux de Martin Hairer, médaille Fields en 2014.

Ce dossier montre que les mathématiques permettent de comprendre les formes géométriques de la nature ou de proposer des formes géométriques dans l’industrie. De façon générale, les mathématiciens collaborent avec les entreprises pour modéliser, simuler, optimiser, avec souvent à la clé des innovations et une compétitivité accrue. Ainsi en France, le réseau AMIES établit un pont entre laboratoires de mathématiques et entreprises.

Jocelyne Erhel

 

TOUT – Les rêves mathématiques d’une théorie ultime

Couverture du livre TOUT de Jean-Paul Delahaye

Jean-Paul Delahaye (Éditions Hermann 2011)

La construction d’une théorie qui permettrait de TOUT représenter a été le Graal de nombreux mathématiciens. Le terme TOUT s’applique aux nombres, aux ensembles, à la logique, etc. Il permet d'aborder par exemple les problèmes de représentation de très grands nombres et de l’infini, les extensions des nombres, le concept d'autoréférence, et d'en bâtir des théories avec pour seule règle de détecter les incohérences, afin de les contourner ou de les éviter.

Dans cet ouvrage, l’auteur présente différentes facettes de cette quête, en sept chapitres qui mêlent agréablement les idées fondamentales, des éléments historiques et fréquemment les paradoxes auxquels ont été confrontés les mathématiciens. Ceux-ci sont souvent déclinés en divertissements mathématiques.

Les sept chapitres peuvent se parcourir dans un ordre quelconque. Leur construction a été pensée pour qu'ils puissent être lus complètement ou partiellement. Certaines parties sont très faciles d’accès, d’autres plus difficiles… À chaque lecteur de choisir les paragraphes les plus simples, les encadrés ou d'aller jusqu’aux compléments qui approfondissent chaque chapitre. Un ouvrage à lire et à relire, pour un large public.

 

Jeux finis et infinis

Jean-Paul Delahaye (Seuil, Science Ouverte 2010)

Cet ouvrage nous fait passer, en jouant, du fini à l'infini, et nous fait découvrir de façon ludique la puissance et l'élégance de constructions mathématiques au cœur des réflexions sur l'infini. Au détour d'un jeu, on voit surgir les nombres premiers là où on ne les attendait pas. On découvre aussi que quand l'humain entre en jeu, la rigueur mathématique de la théorie des jeux sociaux et économiques est parfois contredite par des comportements bien étranges. Il fait un clin d'œil au cinéma avec le jeu de Nim, pour lequel il existe une stratégie gagnante. Il nous présente la Nim-addition appliquée à des paquets d'allumettes pour la découvrir.

Il nous fascine par le jeu de la vie, dont la définition tient en trois lignes, mais dont la richesse semble inépuisable pour la physique, la biologie, les mathématiques ou encore l'informatique.

Un livre riche et divertissant qui rend intelligent et cultivé, ou du moins nous le fait croire... c'est tout l'art de Jean-Paul Delahaye.


Dimensions... une promenade mathématique

Jos Leys, Étienne Ghys, Aurélien Alvarez

Accéder au site web

Lorsque l'informatique se met au service de la visualisation mathématique, découvrir et comprendre des « maths » devient une superbe promenade visuelle.

Les animations proposées sur ce site web nous font découvrir quelques Grecs anciens un peu fanfarons, qui nous donnent les clés pour nous situer sur une surface courbe. Leur succèdent des êtres rampants qui se tortillent l'esprit pour voir des objets en trois dimensions dans leur monde plan qui n'en a que deux. C'est alors notre tour de ramper dans notre espace en trois dimensions autour d'objets de dimension... quatre, découvrant alors, pas à pas, l'ombre tridimensionnelle d'objets fabuleux. Le voyage se poursuit de manière plus scolaire ; les nombres complexes, la topologie et la science de la démonstration nous sont racontés au fil de l'histoire des Hommes qui les ont définis.

Des mathématiques bien utiles en informatique et surtout, racontées par des collègues qui ne manquent pas d'humour.

 

Au pays des paradoxes

Jean-Paul Delahaye (Belin - Pour la Science 2008)

couverture

Pourquoi les tables de logarithmes des bibliothèques publiques du XIXe siècle avaient-elles leurs premiers tomes plus détériorés que les derniers ? La fin du monde a-t-elle vraiment de grandes chances d'arriver avant 2150 ? Les vendredis treize méritent-ils réellement leur réputation ?...

Si ces questions vous turlupinent ou vous amusent, ou si vous aimez simplement contempler la réflexion et l'intelligence en action, vous vous régalerez à la lecture du dernier ouvrage de Jean-Paul Delahaye. Vous pourrez naturellement jouer à résoudre les défis qui constituent les chapitres de ce livre... ou vous vous régalerez tout simplement en vous précipitant vers les solutions, comme il semble lui-même s'être régalé à démonter, enrichir et expliquer chacun des cinquante paradoxes classiques qu'il a rassemblés ici et qui avaient déjà en partie fait le sel de sa rubrique « Logique et calcul » de la revue Pour la Science.

Cela va évidemment des questions relativement simples et amusantes comme celles que proposent la géométrie ou l'arithmétique divertissantes des siècles passés, à des problèmes célèbres tels que celui du mouvement perpétuel ou des perspectives trompeuses, en passant par de très profonds paradoxes logiques ou probabilistes.

À chaque fois, Jean-Paul Delahaye s'est efforcé d'exposer au lecteur aussi bien les fausses réponses que les vraies explications, et il s'est surtout attaché à explorer de manière particulièrement claire et efficace toutes les difficultés plus ou moins apparentes du problème. Enfin, ceux qui ne sentiraient pas encore suffisamment convaincus trouveront à la fin de chacun des cinquante petits chapitres des indications bibliographiques (parfois électroniques) leur permettant d'aller plus loin ou de prolonger le plaisir...

Au total : un petit livre rare de divertissement intelligent et un magnifique travail de pédagogie en action !

 

Logique, informatique et paradoxes

Jean-Paul Delahaye (Belin - Pour la Science 1995)

couverture

Un parcours initiatique sur les chemins de l'indécidabilité, de l'aléatoire, de la déduction et de l'induction. Les découvertes récentes défrichent un univers où l'esprit tente de comprendre l'esprit, de le recréer et de s'en amuser. Un livre pour comprendre pourquoi les STIC sont une science et quelles questions fondamentales elles permettent de poser.
Un livre de culture pour un large public, ludique, et aussi une base pour les étudiants.

 

The Colossal Book of Mathematics. Classic Puzzles, Paradoxes and Problems

Martin Gardner (W.W. Norton & Company 2001)

couverture

Sélection des meilleurs articles de Martin Gardner, ce livre composé de 50 chapitres indépendants fait découvrir en s'amusant toutes sortes d'idées mathématiques. Théorie des nombres, algèbre, géométrie, probabilités, topologie, théorie des jeux, logique, méthodes de calculs, paradoxes, etc. Ces textes dont l'ensemble a sans doute contribué à changer l'image des mathématiques et de ses liens avec la vie courante et les applications, ouvrent l'esprit du lecteur en lui montrant que partout l'esprit logique et mathématique peut trouver à s'exercer. Jamais abstraits ni difficiles ces textes seront appréciés par tous. La rationnalité à l'œuvre chez Martin Gardner est exactement celle qu'on trouve dans les technologies de l'information : concrète mais parfois très subtile, elle associe les questions les plus combinatoires aux thèmes les plus philosophiques et les plus profonds. Le sommet du diverstissement mathématique et logique.
Un livre pour découvrir et réfléchir, et aussi une base pour les étudiants.

 

Ma Thémagie : en quête de l'essence de l'esprit et du sens

Douglas Hofstadter (InterÉditions 1988)

couverture

Traduction de Metamagical Themas (Basic Books 1985).
Ce livre est composé de la réédition des articles (revus et complétés) du Scientific American publié par Douglas Hofstadter, quand, pendant quelques années, il succéda à Martin Gardner. Toutes sortes de thèmes y sont abordés associant des réflexions sur les mathématiques, la logique, l'informatique, l'intelligence artificielle et bien d'autres sujets encore. On se délectera de ces textes amusants et profonds, à la frontière de la philosophie et des sciences qui provoquent et font réfléchir.



 

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