Un calcul révolutionnaire

Calculer la racine carrée d'un nombre n de 80 chiffres n'est pas très simple, même si on sait que l'entier n est un carré parfait (n = m²).

Calculer la racine treizième d'un nombre n de 100 chiffres est sûrement encore plus compliqué, même si on sait que n est une puissance treizième exacte d'entier (n = m¹³). C'est même certainement impossible de tête.

Que penser alors du calcul de la racine 1789-ème d'un nombre n de 7000 chiffres, même en sachant que n est une puissance 1789-ème exacte (n = m¹⁷⁸⁹) ? Réussir un tel calcul de tête constituerait un exploit véritablement « révolutionnaire » !

Pour mieux lire les 7000 chiffres du nombre proposé, affichez l'image plus grande

Eh bien non, cela semble paradoxal, mais le troisième exercice est le plus simple : vous pouvez d'ailleurs le faire vous-même. Le second calcul est difficile sans papier, mais quelques amateurs de calcul mental en sont capables. Le premier exercice, lui, n'est semble-t-il pas humainement possible de tête : même les plus grands calculateurs prodiges de l'histoire n'ont jamais réussi l'extraction de la racine carrée de nombres de 80 chiffres.

Ce qui semble le plus difficile à première vue est en réalité le plus facile : c'est le paradoxe de la fausse difficulté.

Je vous propose d’expliquer pourquoi il en est ainsi, et de découvrir la méthode permettant de calculer la racine 1789-ème d'un nombre de 7000 chiffres.

Si vous trouvez cela trop compliqué, attaquez-vous d'abord au paradoxe lexical suivant :
- Il est faux que la racine treizième du nombre a est le nombre b qui multiplié treize fois par lui-même donne a.
Voir la solution de ce paradoxe lexical

Alors, le calcul de la racine 1789-ème, vous y avez bien réfléchi ? Pour lire la solution, allez à la page suivante.