Croissance, décroissance et sobriété

Regardons la consommation de la ressource naturelle des feuilles, qui augmente continument au cours du temps.

Pour mesurer les variations, on utilise la dérivée par rapport au temps de cette consommation (on suppose qu’elle est dérivable). Par définition, le taux de croissance est égal à la dérivée en temps divisé par la consommation. Si on peut mesurer le taux de croissance par des observations, on peut alors calculer la consommation en résolvant une équation différentielle :
\( \frac{d \mathit{conso}}{dt} = \mathit{taux} * \mathit{conso}\), avec la condition initiale \( \mathit{conso}(0)\) connue (par exemple \(\mathit{conso}(0)=1\)).
On sait que cette équation différentielle a une solution unique.

Lorsque taux est constant et positif (non nul), la solution est connue, c’est la fonction exponentielle, par définition de celle-ci.
Plus précisément, \( \mathit{conso} (\mathit{temps}) = \mathit{conso}(0) * \exp (\mathit{taux}*\mathit{temps})\).
On constate que \(\mathit{conso}\) tend vers l’infini lorsque le temps tend vers l’infini, par définition de l’exponentielle.

Dans la vidéo, le taux constant est positif jusqu’au temps \( \mathit{temps}_{\mathit{max}}\) puis devient négatif, égal à \(-\mathit{taux}_{\mathit{dec}}\). Au temps \( \mathit{temps}_{\mathit{max}}\), la consommation vaut \(\mathit{conso}_{\mathit{max}}\), plus grande que la capacité de charge. Il faut alors résoudre l’équation différentielle

\[ \frac{d \mathit{conso}}{d t} = – \mathit{taux}_{\mathit{dec}} * \mathit{conso}\] pour \( \mathit{temps} >= \mathit{temps}_{\mathit{max}}\) et \(\mathit{conso}(\mathit{temps}_{\mathit{max}}) = \mathit{conso}_{\mathit{max}}\).

La solution est encore la fonction exponentielle, cette fois décroissante :

\(\mathit{conso} = K * \exp (-\mathit{taux}_{\mathit{dec}} * \mathit{temps})\), où la constante \(K\) est définie par la condition initiale :

\[ K = \frac{\mathit{conso}_{\mathit{max}}}{\exp(-\mathit{taux}_{\mathit{dec}} * \mathit{temps}_{\mathit{max}})}.\]

Rappelons une propriété de l’exponentielle : \(\frac{\exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b)\).

On obtient finalement

\[ \mathit{conso} = \mathit{conso}_{\mathit{max}} * \exp (-\mathit{taux}_{\mathit{dec}} * (\mathit{temps} – \mathit{temps}_{\mathit{max}}) \mbox{) pour } \mathit{temps} > \mathit{temps}_{\mathit{max}}.\] \(\mathit{conso}\) tend vers zéro lorsque le temps devient infini, la consommation s’effondre.

En démographie, on savait que si le taux de croissance d’une population était constant, alors la population augmentait de façon exponentielle. Ce modèle n’était pas satisfaisant, car il ne correspondait pas toujours aux valeurs mesurées. Le mathématicien belge Verhulst voulait établir un modèle d’évolution d’une population qui ne soit pas exponentiel. Il proposa un nouveau modèle, qu’il appela logistique en 1845. Il montra qu’en ajustant les paramètres taux et limite, il trouvait une évolution proche des données fournies sur la population en Belgique.

On suppose que la capacité de charge limite est plus grande que la consommation initiale, égale à 1. Le taux de croissance est défini par la fonction \[ \mathit{taux}_{\mathit{var}} = \mathit{taux} * (1- \frac{\mathit{conso}}{\mathit{limite}}), \mbox{ avec } \mathit{limite} > 1.\]

L’équation différentielle est alors plus difficile à résoudre. Pour calculer la solution, l’astuce consiste à introduire la fonction \(f = \frac{1}{\mathit{conso}}\).

Après quelques calculs, on établit que \(f\) est solution de l’équation différentielle \[ \frac{df}{dt} = – \mathit{taux} * ( f – \frac{1}{\mathit{limite}}), \mbox{ avec la condition initiale } f(0)=1.\]

Eureka, on sait résoudre cette équation ! On obtient \[ f = K * \exp (- \mathit{taux} * \mathit{temps}) + \frac{1}{\mathit{limite}}.\]

On calcule \( K \) à l’aide de la condition initiale : \[ K = \frac{\mathit{limite}-1}{\mathit{limite}}.\]

Il reste à inverser \(f\) pour revenir à \(\mathit{conso}\) : \[ \mathit{conso} = \frac{\mathit{limite}}{1+ (\mathit{limite}-1)*\exp(-\mathit{taux}*\mathit{temps})}.\]

Lorsque le temps devient infini, \(\mathit{conso}\) devient presque égale à \(\mathit{limite}\), tout en restant plus petite.

Un point d’inflexion est défini par une dérivée seconde nulle, avec changement de signe. On peut calculer la dérivée seconde de la consommation au moins de deux façons : en utilisant la formule de la fonction logistique ou en utilisant l’équation différentielle et la formule du taux variable. Voici un résumé des calculs pour cette deuxième méthode. \[ \begin{array}{lcl} \frac{d^2 \mathit{conso}}{dt^2} & = & \frac{d}{dt} \left( \frac{d \mathit{conso}}{dt} \right) \\ & = & \frac{d}{dt} \left( \mathit{taux}_{\mathit{var}} * \mathit{conso} \right) \\ & = & \frac{d}{dt} (\mathit{taux}_{\mathit{var}}) * \mathit{conso} + \mathit{taux}_{\mathit{var}} \\ & = & – \mathit{taux} * \frac{\mathit{conso}}{\mathit{limite}} + \mathit{taux}*\frac{(\mathit{limite}-\mathit{conso})}{\mathit{limite}} \\ & = & \mathit{taux}*\frac{(\mathit{limite}-2\mathit{conso})}{\mathit{limite}}. \end{array} \]

On obtient donc que la dérivée seconde s’annule et change de signe si et seulement si \( \mathit{conso} = \dfrac{\mathit{limite}}{2}\).

• F. Rechenmann, Les limites de la croissance dans un monde fini, Interstices, 2014.
• Dennis Meadows, Donella Meadows, Jørgen Randers, William W. Behrens III, The limits to Growth (en français Les limites à la croissance ou le Rapport Meadows), accessible en version originale ici, 1ère édition parue en 1972.
• Zoé Steep, Les limites à la croissance – Meadows : questions raisonnées, Éditions Exces, collection Voix publiques, 2023.
• Abel Quentin, Cabane, Éditions de l’observatoire, 2024.

À la mémoire de Soso qui a inspiré la fable des gorilles. Merci aux relectrices et relecteurs scientifiques, et à Martine Olivi en particulier, qui ont été d’une grande aide.