Les mathématiques appliquées à la gestion du trafic routier

Les équations aux dérivées partielles (EDP) sont des équations fonctionnelles, dont les solutions sont des fonctions de plusieurs variables réelles.

La solution d’une équation algébrique est un ou plusieurs nombres. Ainsi les équations de la forme ax² + bx + c = 0, qui implique le fameux trinôme étudié au lycée, possèdent, selon les valeurs des coefficients a, b et c, aucune, une ou deux solutions, c’est-à-dire des valeurs de x qui annulent le trinôme.

Une équation différentielle ordinaire (ODE) lie une fonction inconnue à ses dérivées. Ses solutions sont des fonctions d’une variable réelle. Par exemple, l’équation élémentaire f’(x) = a.f(x) admet comme solution la fonction f(x) = f(0) e^ax, puisqu’alors f’(x) = f(0) a e^ax, bien identique à a.f(x). Quand la variable x est le temps, les ODE décrivent des systèmes dynamiques, qui tentent de rendre compte de l’évolution de grandeurs au cours du temps, telles qu’une distance parcourue par un mobile, la tension aux bornes d’un circuit ou l’effectif d’une population.

Lorsque les grandeurs étudiées dépendent, outre le temps, de la position sur un axe, sur un plan ou dans l’espace, les fonctions impliquées possèdent autant de variables additionnelles. Ainsi, l’évolution de la température dans le temps et le long d’une tige métallique peut être modélisée par une fonction T (x, t), où x est la distance à l’extrémité de la tige et t est le temps écoulé depuis le début de l’expérience. Pour modéliser les phénomènes associés, il est nécessaire d’écrire des équations qui lient la fonction T (x, t) et ses dérivées par rapport à la variable t, mais aussi par rapport à la variable x : autant de dérivées dites partielles. La résolution numérique de ces équations sur un ordinateur permet de simuler l’évolution de la température en chaque point de la tige et au cours du temps.

Si les phénomènes évoluent dans un plan ou dans l’espace, ce sont de nouvelles variables y, puis z qu’il est ainsi nécessaire d’introduire, ainsi que les dérivées correspondantes dans les équations aux dérivées partielles. Ainsi, les prédictions météorologiques mettent en œuvre des modèles qui rassemblent des équations de la mécanique des fluides et permettent de simuler l’évolution dans le temps de grandeurs physiques telles que vitesse ou pression, et ce, à chaque point d’une grille tridimensionnelle au-dessus de la surface terrestre.

À côté de leur mise en œuvre pour la modélisation et la simulation de nombreux phénomènes, les EDP constituent un chapitre important des mathématiques pures.