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Lire & Voir : Jeux et culture mathématique
La petite histoire du ballon de foot
Étienne Ghys (Éditions Odile Jacob, janvier 2023)
Sauriez-vous dessiner un ballon de football ? Par exemple, celui avec des pièces blanches et des pièces noires, qu’on appelle Telstar, qui date de 1970 (coupe du monde de football masculin à Mexico) et qui a perduré jusqu’au Tricolore en 1998 (coupe du monde en France). Pas si simple ! En lisant ce petit livre sur les ballons de football, vous découvrirez que ce ballon Telstar est composé de 32 pièces, les noires ayant cinq côtés et les blanches en ayant six. Ne vous fiez pas aux pancartes indiquant les stades de football en Angleterre, car les dessins sont faux ! Un comble au pays du football. Mais les mathématiques sont formelles : il est impossible de construire un ballon avec seulement des hexagones à six côtés.
Le ballon Telstar, avec ses pentagones et hexagones, répond au petit nom mathématique de « icosaèdre tronqué ». C’est difficile à imaginer, mais le livre est truffé de dessins qui visualisent très bien toutes les opérations géométriques utilisées pour construire le ballon.
Pourquoi un icosaèdre et pas un autre volume ? L’icosaèdre, sorte de dé à 20 faces toutes triangulaires, fait partie de la famille des polyèdres, ces solides avec plusieurs faces planes. Il fait aussi partie de la famille des cinq solides de Platon, qui sont des polyèdres particuliers. L’auteur explique pourquoi il n’existe pas de polyèdre avec seulement des faces hexagonales, donc pourquoi le ballon de football des pancartes anglaises n’est qu’un dessin… Par contre, il est possible de tronquer un polyèdre, comme pour le ballon Telstar. Et l’icosaèdre tronqué est presque rond, c’est utile pour un ballon de football… D’autres exemples de solides tronqués, issus des travaux d’Archimède, sont illustrés dans le livre.
Un icosaèdre tronqué et un ballon de football de type Telstar.
Crédit Image : Dyfsunctional, Public domain, via Wikimedia Commons.
Après cette digression géométrique, le livre revient aux ballons des coupes du monde de football. À partir de 2006, chaque coupe du monde a son propre ballon, révélé peu avant la compétition. En 2006 (coupe du monde en Allemagne), le ballon Teamgeist a quatorze pièces et est inspiré d’un octaèdre tronqué. L’octaèdre, qui est aussi un des solides de Platon, a huit faces triangulaires. Une fois tronqué, le solide a six faces carrées et huit faces hexagonales. Mais l’innovation repose dans la forme des pièces, dont les côtés sont des courbes. Le ballon Al Rihla de 2022 (coupe du monde au Qatar) est aussi inspiré de volumes tronqués, mais il va plus loin en brisant des symétries, avec des pièces légèrement différentes. De plus, ce ballon est connecté et envoie ses trajectoires en wifi.
Les ballons de football des coupes du monde.
Crédit Image : © FIFA
À propos de trajectoires, les joueurs ne manquent pas de commenter celles du ballon à chaque coupe du monde. Poursuivons la lecture et quittons la géométrie pour faire un peu de physique. Sans résistance de l’air, le ballon suivrait une trajectoire en cloche (parabolique), comme l’a expliqué Galilée. La trajectoire du ballon est en réalité sensible à la viscosité de l’air. Ainsi que l’a observé Eiffel, le ballon ralentit beaucoup s’il est frappé lentement et très peu s’il est frappé fort, car l’air autour du ballon est plus ou moins turbulent. Un ballon lisse serait trop peu freiné, il doit donc être un peu rugueux. Le ballon Telstar l’est grâce à ses coutures. Vous avez sans doute remarqué que le ballon Al Rihla de 2022 est piqueté de petites alvéoles, un peu comme une balle de golf, pour augmenter la rugosité du ballon. Enfin, l’analyse physique ne serait pas complète sans parler des effets de rotation du ballon imprimés par le tir du joueur. Vous avez sûrement en mémoire des buts marqués grâce à un effet de spin, buts qui sont entrés dans la légende…
Pour conclure, ce livre d’Étienne Ghys revient sur des notions de géométrie. Rappelons qu’un ballon de football est fabriqué en s’inspirant d’un polyèdre. Tout segment reliant deux points du ballon reste à l’intérieur, le ballon est donc mathématiquement convexe. Il est aussi rigide, non flexible. Mais est-ce toujours le cas ? Oui, le mathématicien Cauchy a démontré vers 1813 que tout polyèdre convexe est rigide. À l’inverse, il a fallu attendre 1977 pour que le mathématicien Connelly construise un polyèdre non convexe et flexible. Avec Sabitov et Walz, il a aussi démontré, 20 ans plus tard, qu’un polyèdre flexible se déforme en gardant un volume constant. Résultat facile à énoncer mais dont l’auteur qualifie la démonstration de grandiose.
Terminons par le ballon Brazuca, le préféré de l’auteur (coupe du monde 2014 au Brésil). Il est formé de six faces, tout comme un cube. L’astuce est de courber les faces dans l’espace, comme avec certains origamis. Grâce à la magie de la géométrie, le ballon Brazuca est presque sphérique, sans le gonfler. Il ne vous reste plus qu’à imaginer le prochain ballon de football (coupe du monde 2026 en Amérique)…
Pascal Lafourcade, Malika More (Éditions Dunod, 2021)
Malika More et Pascal Lafourcade nous proposent un livre ludique pour nous initier à la cryptographie. Outre le côté instructif et éducatif du sujet, ce livre soumet à notre sagacité 25 énigmes (voire plus) addictives, comme en témoigne mon acharnement à les élucider dès la réception de l’ouvrage. Réfléchir, rechercher, s’égarer sur une fausse piste, recommencer et finalement trouver la solution : ces énigmes vous feront vous creuser la cervelle et paniquer, mais sans excès car elles sont avant tout ludiques. Il est cependant aisé de prévoir et de doser ses efforts, grâce à l’indication de niveaux de difficulté, de une à quatre étoiles, et ces niveaux sont calibrés de façon pertinente. Toutefois, si vous séchez, ne désespérez pas, des indices — qui vont crescendo — vous sont proposés.
Une seconde partie du livre est consacrée à la solution de chaque énigme et surtout à une mise en contexte, historique et technique, de la méthode cryptographique employée. Rien à redire non plus sur cette seconde partie, tous les résultats sont accompagnés d’explications claires et compréhensibles. Ils sont ordonnés par difficulté croissante, avec une progressivité judicieusement construite et dont le niveau est majoritairement accessible en fin de lycée. Toute la difficulté d’une solution repose parfois, en effet, sur son usage pratique réel, même si le principe général peut être expliqué simplement.
Énigme après énigme les auteurs nous offrent un panorama de la cryptographie. Si, à l’école, on enseigne aux élèves à calculer en cent leçons, dans ce livre Pascal Lafourcade et Malika More nous initient à la cryptographie en 25 énigmes. Avec seulement 6 énigmes datant d’avant 1945, ils ont réussi la prouesse de rendre accessibles les problématiques et les techniques les plus récentes. La variété est également au rendez-vous, puisque sont abordées aussi bien le chiffrement à clé publique que les attaques par canaux cachés ou encore de type « man in the middle ». Une mention spéciale est décernée à l’énigme portant sur les bitcoins, qui permet de se familiariser avec les notions de blockchain et de minage. Tout comme la robustesse du vote électronique, la sécurité de nos mots de passe est décortiquée et des conseils pratiques sont prodigués.
Avant de conclure cette recommandation de lecture, je voudrais insister encore sur quelques aspects notables de cet ouvrage. Non sans humour, les auteurs nous régalent d’anecdotes, jeux de mots et contrepèteries : l’aspect ludique ne se cantonne pas au plaisir de résoudre les énigmes, il se décline aussi dans la formulation des solutions. Touche par touche, les auteurs ont également rendu vivante et humaine la cryptographie, en émaillant leur propos des portraits de celles et ceux qui ont compté ou comptent encore dans ce domaine toujours en ébullition.
Pour vous donner un avant-goût de ce que vous trouverez dans le livre, ce texte de présentation contient trois messages cachés. Si vous découvrez l’un de ces messages, rendez-vous sur la page « https://interstices.info/solution-de-l-enigme » en remplaçant bien sûr « solution-de-l-enigme » par votre solution (en minuscules et avec des traits d’union).
L’article ci-dessus contient un acrostiche (si chaque phrase est considérée comme un vers) et deux contrepèteries. Rendons à César ce qui est à César, le tout n’est pas de mon cru et l’une des contrepèteries est attribuée à Joël Martin.
La première énigme du livre explique la différence entre stéganographie (cacher un message en clair dans le message envoyé : c’est le cas des acrostiches) et cryptographie (le message n’est pas en clair, il est chiffré).
Dans les énigmes suivantes du livre, le principe des permutations et des substitutions est donné, puis le fait que l’on n’augmente pas le niveau de sécurité avec deux substitutions successives mais qu’il faut alterner permutations et substitutions. Un exemple célèbre de substitution est le code de César et les contrepèteries illustrent le principe des permutations.
Éditeur Presses Universitaires Grenoble, août 2019)
Et si l’informatique et les mathématiques vous accompagnaient durant toute l’année 2020 ?
Peut-être l’avez-vous déjà prévu, mais comment réfléchir à une diversité de thématiques et sortir de ses habitudes ? Ou peut-être êtes-vous réfractaire au calcul, mais sensible aux défis ? Si vous êtes prêt à suivre les chemins de l’aléatoire, voici une solution à la fois ludique et esthétique : le calendrier mathématique 2020. Et, ce n’est pas pour nous déplaire, la proposition fait la part belle à l’algorithmique.
Ce calendrier se présente sous forme carrée, de belle taille. Chaque double page correspond à un mois de l’année et se focalise sur une thématique. D’un côté, elle est illustrée par une grande photo généralement issue de travaux de laboratoires scientifiques. De l’autre côté, on retrouve la présentation des jours du mois. Et à la place du traditionnel éphéméride, chaque jour un problème à résoudre. L’énoncé se veut direct et accessible. Et nous voilà en route pour toute une journée de réflexions et de calculs !
Chaque thème (et donc chaque mois) est introduit par un texte de présentation de la problématique. Ces textes, rédigés par les informaticiens Serge Abiteboul et Charlotte Truchet, permettent de mieux cerner les enjeux autour de ces thématiques sans être trop difficiles d’accès. Un autre intérêt important de ce calendrier est qu’il n’abandonne personne dans ses réflexions. On retrouve la solution au problème du jour à la dernière page du calendrier. Il est surtout très utile de se référer au livret fourni avec le calendrier. Les auteurs reviennent en détail sur chaque problème en fournissant des explications didactiques. Ainsi, les jours de plus grande disponibilité permettent de se plonger dans les détails du calcul.
La thématique de cette année est « le monde de l’aléatoire ». Une excellente manière de se laisser surprendre par la beauté des mathématiques et de l’algorithmique au travers de ces 262 problèmes. On remercie les auteurs qui nous autorisent une pause pendant le week-end voire une séance de rattrapage pour les plus occupé(e)s.
Ce calendrier est la version française du Calendario Matemático, un reto diario publié au Mexique depuis 2002, par Googol. Pour 2019, le calendrier a été développé avec le soutien de la Fondation Blaise Pascal, qui fait un travail important pour la médiation des mathématiques et de l’informatique.
Le calendrier est disponible sur le site de l’éditeur PUG.
Toutes les mathématiques du monde
Hervé Lehning (Éditions Flammarion, 2017)
Ce livre dresse une fresque des découvertes mathématiques à travers le monde, de la préhistoire à nos jours. Des préoccupations sociétales diverses ont conduit à des résultats fondamentaux, tout d’abord en arithmétique et en géométrie. Un chapitre est ainsi consacré à l’épopée du théorème de Pythagore. On découvre aussi comment un blocage a finalement abouti à des notions mathématiques élaborées. Par exemple, dessiner un carré qui a la même aire qu’un disque s’avère impossible. Pour démontrer que ce problème, qu’on appelle la quadrature du cercle, est effectivement insoluble, il a fallu démontrer que le nombre pi est transcendant, donc qu’il ne peut pas vérifier aire du disque = aire du carré. La réponse est arrivée environ 2000 ans après la question !
C’est ainsi que peu à peu sont nées des théories de plus en plus abstraites, avec de nouvelles spécialités comme l’algèbre ou l’analyse. Les inventions du zéro, des nombres négatifs, des fractions, des racines carrées de nombres positifs puis de nombres négatifs, des nombres transcendants répondent à la fois à des questions pratiques et des problèmes théoriques. Des ponts ont alors été jetés entre les théories, unifiant la science mathématique.
Cette fresque historique passionnante est en outre truffée d’anecdotes amusantes et d’exemples simples. Elle est aussi l’occasion de poser des questions philosophiques sur la nature des mathématiques. Est-ce que toutes ces découvertes existent dans la nature ou sont-elles une création humaine ? Pourquoi des notions aussi abstraites sont-elles aussi efficaces dans le monde réel ? Comment partager la beauté d’une démonstration ?
Au tournant du 20e siècle, les mathématiques connurent de graves crises, remettant en cause certains fondements et suscitant d’âpres discussions. Le débat n’est pas clos. De plus, diverses conjectures restent à prouver et titillent encore les mathématiciens.
Néanmoins, les mathématiques aident à agir sur le monde. La dernière partie du livre fourmille d’exemples d’applications. Ainsi, les probabilités et statistiques sont de plus en plus utilisées, sans être toujours bien comprises. De même, les algorithmes sont au cœur du monde numérique de demain.
Le livre peut se lire du début à la fin, ou en piochant un chapitre au gré de son inspiration. Il participe avec succès à rapprocher les deux mots « culture » et « mathématiques ».
Quand les maths prennent formes
Dossier Pour La Science no 91, avril-juin 2016
F comme Forme. Ce mot revient dans plusieurs expressions : être en forme, sans autre forme de procès, déformation, etc. En mathématiques aussi, le mot forme revêt plusieurs aspects, comme l’explique le mathématicien Cédric Villani, lauréat de la médaille Fields en 2010. C’est la forme au sens géométrique qui est explorée dans ce dossier de la revue Pour La Science, intitulé « Quand les maths prennent formes ».
On pourrait penser que les rectangles, les triangles ou les cercles n’ont plus de secret pour les mathématiciens. Voilà pourtant une question simple : comment découper un rectangle en trois parties identiques ? La réponse est facile, il n’y a qu’une solution en général et deux solutions si la longueur divisée par la largeur vaut 3/2, mais la démonstration mathématique l’est moins.
Quant aux triangles de Reuleaux construits avec un triangle équilatéral et trois cercles, ils s’invitent de façon inattendue dans l’industrie mécanique. Et l’heptagone de Reuleaux, à sept côtés, est la forme adoptée par la pièce de 20 cents britannique.
Parfois une question anodine conduit à des résultats surprenants. Comment retourner une aiguille dans une botte de foin aplatie (en deux dimensions) et d’aire minimale ? C’est facile à faire dans un disque, un peu moins dans un triangle équilatéral. Mais la réponse est étonnante : l’aire peut être aussi petite que l’on veut, grâce aux ensembles de Besicovitch qui ont une aire nulle !
Que se passe-t-il maintenant si la botte de foin a une épaisseur (en trois dimensions) ? Cette question soulève des problèmes qui ont des connexions avec d’autres domaines des mathématiques où se sont illustrés plusieurs mathématiciens lauréats de la médaille Fields.
Tout cela peut sembler bien abstrait et peu utile, voire futile. Au moins reconnaît-on quelque beauté aux figures fractales, dessinées grâce à des algorithmes numériques, et autres formes géométriques bizarres qui inspirent souvent les artistes ou les designers.
Mais le design s’appuie aussi sur des méthodes mathématiques. Par exemple, quelle est la forme d’une pièce mécanique qui rend la pièce la plus rigide possible tout en respectant une limite maximale de poids ? Les mathématiques répondent à cette question grâce à des méthodes dites d’optimisation topologique, qui permettent de faire varier la forme pour augmenter progressivement la rigidité jusqu’à obtenir la solution souhaitée. Ces méthodes ont d’autres applications. Par exemple, la méthode des courbes de niveau a été utilisée dans le film Avatar pour le design de paysages réalistes.
Dans le domaine du vivant, les taches et rayures des pelages d’animaux s’expliquent aussi grâce aux mathématiques. La théorie de la morphogenèse introduite par Alan Turing montre comment des petites perturbations induisent une répartition de deux composants chimiques (de couleurs jaune et noir par exemple), en taches ou rayures. Sans ces perturbations, le pelage serait uniformément un mélange des deux composants (jaune foncé par exemple).
Ces perturbations interviennent dans de nombreux phénomènes biologiques ou physiques. L’analyse des équations avec perturbations a fait d’énormes progrès récemment grâce aux travaux de Martin Hairer, médaille Fields en 2014.
Ce dossier montre que les mathématiques permettent de comprendre les formes géométriques de la nature ou de proposer des formes géométriques dans l’industrie. De façon générale, les mathématiciens collaborent avec les entreprises pour modéliser, simuler, optimiser, avec souvent à la clé des innovations et une compétitivité accrue. Ainsi en France, le réseau AMIES établit un pont entre laboratoires de mathématiques et entreprises.
TOUT – Les rêves mathématiques d’une théorie ultime
Jean-Paul Delahaye (Éditions Hermann 2011)
La construction d’une théorie qui permettrait de TOUT représenter a été le Graal de nombreux mathématiciens. Le terme TOUT s’applique aux nombres, aux ensembles, à la logique, etc. Il permet d’aborder par exemple les problèmes de représentation de très grands nombres et de l’infini, les extensions des nombres, le concept d’autoréférence, et d’en bâtir des théories avec pour seule règle de détecter les incohérences, afin de les contourner ou de les éviter.
Dans cet ouvrage, l’auteur présente différentes facettes de cette quête, en sept chapitres qui mêlent agréablement les idées fondamentales, des éléments historiques et fréquemment les paradoxes auxquels ont été confrontés les mathématiciens. Ceux-ci sont souvent déclinés en divertissements mathématiques.
Les sept chapitres peuvent se parcourir dans un ordre quelconque. Leur construction a été pensée pour qu’ils puissent être lus complètement ou partiellement. Certaines parties sont très faciles d’accès, d’autres plus difficiles… À chaque lecteur de choisir les paragraphes les plus simples, les encadrés, ou d’aller jusqu’aux compléments qui approfondissent chaque chapitre. Un ouvrage à lire et à relire, pour un large public.
Jeux finis et infinis
Jean-Paul Delahaye (Seuil, Science Ouverte 2010)
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Cet ouvrage nous fait passer, en jouant, du fini à l’infini, et nous fait découvrir de façon ludique la puissance et l’élégance de constructions mathématiques au cœur des réflexions sur l’infini. Au détour d’un jeu, on voit surgir les nombres premiers là où on ne les attendait pas. On découvre aussi que quand l’humain entre en jeu, la rigueur mathématique de la théorie des jeux sociaux et économiques est parfois contredite par des comportements bien étranges. Il fait un clin d’œil au cinéma avec le jeu de Nim, pour lequel il existe une stratégie gagnante. Il nous présente la Nim-addition appliquée à des paquets d’allumettes pour la découvrir.
Il nous fascine par le jeu de la vie, dont la définition tient en trois lignes, mais dont la richesse semble inépuisable pour la physique, la biologie, les mathématiques ou encore l’informatique.
Un livre riche et divertissant qui rend intelligent et cultivé, ou du moins nous le fait croire… c’est tout l’art de Jean-Paul Delahaye.
Dimensions… une promenade mathématique
Jos Leys, Étienne Ghys, Aurélien Alvarez
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Lorsque l’informatique se met au service de la visualisation mathématique, découvrir et comprendre des « maths » devient une superbe promenade visuelle.
Les animations proposées sur ce site web nous font découvrir quelques Grecs anciens un peu fanfarons, qui nous donnent les clés pour nous situer sur une surface courbe. Leur succèdent des êtres rampants qui se tortillent l’esprit pour voir des objets en trois dimensions dans leur monde plan qui n’en a que deux. C’est alors notre tour de ramper dans notre espace en trois dimensions autour d’objets de dimension… quatre, découvrant alors, pas à pas, l’ombre tridimensionnelle d’objets fabuleux. Le voyage se poursuit de manière plus scolaire ; les nombres complexes, la topologie et la science de la démonstration nous sont racontés au fil de l’histoire des Hommes qui les ont définis.
Des mathématiques bien utiles en informatique et surtout, racontées par des collègues qui ne manquent pas d’humour.
Au pays des paradoxes
Jean-Paul Delahaye (Belin – Pour la Science 2008)
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Pourquoi les tables de logarithmes des bibliothèques publiques du XIXe siècle avaient-elles leurs premiers tomes plus détériorés que les derniers ? La fin du monde a-t-elle vraiment de grandes chances d’arriver avant 2150 ? Les vendredis treize méritent-ils réellement leur réputation ?…
Si ces questions vous turlupinent ou vous amusent, ou si vous aimez simplement contempler la réflexion et l’intelligence en action, vous vous régalerez à la lecture du dernier ouvrage de Jean-Paul Delahaye. Vous pourrez naturellement jouer à résoudre les défis qui constituent les chapitres de ce livre… ou vous vous régalerez tout simplement en vous précipitant vers les solutions, comme il semble lui-même s’être régalé à démonter, enrichir et expliquer chacun des cinquante paradoxes classiques qu’il a rassemblés ici et qui avaient déjà en partie fait le sel de sa rubrique « Logique et calcul » de la revue Pour la Science.
Cela va évidemment des questions relativement simples et amusantes comme celles que proposent la géométrie ou l’arithmétique divertissantes des siècles passés, à des problèmes célèbres tels que celui du mouvement perpétuel ou des perspectives trompeuses, en passant par de très profonds paradoxes logiques ou probabilistes.
À chaque fois, Jean-Paul Delahaye s’est efforcé d’exposer au lecteur aussi bien les fausses réponses que les vraies explications, et il s’est surtout attaché à explorer de manière particulièrement claire et efficace toutes les difficultés plus ou moins apparentes du problème. Enfin, ceux qui ne sentiraient pas encore suffisamment convaincus trouveront à la fin de chacun des cinquante petits chapitres des indications bibliographiques (parfois électroniques) leur permettant d’aller plus loin ou de prolonger le plaisir…
Au total : un petit livre rare de divertissement intelligent et un magnifique travail de pédagogie en action !
Logique, informatique et paradoxes
Jean-Paul Delahaye (Belin – Pour la Science 1995)
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Un parcours initiatique sur les chemins de l’indécidabilité, de l’aléatoire, de la déduction et de l’induction. Les découvertes récentes défrichent un univers où l’esprit tente de comprendre l’esprit, de le recréer et de s’en amuser. Un livre pour comprendre pourquoi les STIC sont une science et quelles questions fondamentales elles permettent de poser.
Un livre de culture pour un large public, ludique, et aussi une base pour les étudiants.
The Colossal Book of Mathematics. Classic Puzzles, Paradoxes and Problems
Martin Gardner (W.W. Norton & Company 2001)
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Sélection des meilleurs articles de Martin Gardner, ce livre composé de 50 chapitres indépendants fait découvrir en s’amusant toutes sortes d’idées mathématiques. Théorie des nombres, algèbre, géométrie, probabilités, topologie, théorie des jeux, logique, méthodes de calculs, paradoxes, etc. Ces textes dont l’ensemble a sans doute contribué à changer l’image des mathématiques et de ses liens avec la vie courante et les applications, ouvrent l’esprit du lecteur en lui montrant que partout l’esprit logique et mathématique peut trouver à s’exercer. Jamais abstraits ni difficiles ces textes seront appréciés par tous. La rationalité à l’œuvre chez Martin Gardner est exactement celle qu’on trouve dans les technologies de l’information : concrète mais parfois très subtile, elle associe les questions les plus combinatoires aux thèmes les plus philosophiques et les plus profonds. Le summum du divertissement mathématique et logique.
Un livre pour découvrir et réfléchir, et aussi une base pour les étudiants.
Ma Thémagie : en quête de l’essence de l’esprit et du sens
Douglas Hofstadter (InterÉditions 1988)
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Traduction de Metamagical Themas (Basic Books 1985).
Ce livre est composé de la réédition des articles (revus et complétés) du Scientific American publié par Douglas Hofstadter, quand, pendant quelques années, il succéda à Martin Gardner. Toutes sortes de thèmes y sont abordés associant des réflexions sur les mathématiques, la logique, l’informatique, l’intelligence artificielle et bien d’autres sujets encore. On se délectera de ces textes amusants et profonds, à la frontière de la philosophie et des sciences qui provoquent et font réfléchir.
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